开课主题

《4.4平行四边形的判定》

开课老师

赵芬芬

课堂实录

引入：

师：前段时间我们学习了平行四边形的什么内容呢？

生：平行四边形的定义和性质。

师：大家觉得我们接下来会学习平行四边形的什么内容呢？

生：判定。

师：按照我们以往学习的规律，先是学习定义，接下来学习它的性质之后，再学习它的判定。大家回想一下，到现在为止，你有什么方法可以说明一个四边形是平行四边形呢？

生：两组对边平行

师：主要是平行四边形的定义，哪位同学说一下平行四边形的定义是什么？满足什么样条件的四边形是平行四边形？

生：两组对边分别平行的四边形（师板书）

师：那么我们今天这节课啊，平行四边形的定义既可以是平行四边形的性质，它又是判定一个四边形是否是平行四边形的第一种方法。那么我们今天这节课就继续来学习一下，看看还有没有别的方法，可以说明一个四边形是平行四边形。

师：（出示情境）小明同学在路上看到了很多这样的停车位。那这个四边形会不会是平行四边形呢？之后他在家里啊找到了卷尺，他测量了一下这个四边形的四条边的长度。结果发现两组对边恰好是相等，他就说了这个四边形一个是平行四边形。那么你觉得它这个判定方法正确吗？

生：不正确。

师：那我们来看看啊，到底会不会是正确的。那么我们先来说一说看，他为什么想要去测量四条边的长度呢？

生：平行四边形对边的长度相等。

师：那么我们现有的前提条件是什么？小明这样的判断方法似乎和这个性质有关系，对吗？那是什么关系？是什么？逆命题。那么在逆命题正确的情况下，是真命题的情况下，我们才可以说这个逆命题是一个正确的，那么你能说出他的逆命题吗？

生：两组对边相等的四边形是平行四边形两组。（师板书）

师：我们刚才说好像小明的方法似乎和性质这个有关系。我们找到了是性质定理的逆命题。（同时板书）

师：那咱们同学刚才似乎不赞同小明的判断方法。那么现在我们来看看，就是这个逆命题。你觉得是一个真命题呢，还是一个假命题？不过你们似乎都同意，好像是一个真命题，有没有不同样的方法，那我们来试试看，如果它是一个假命题的话，要怎么办。

生：举反例

师：那它如果它是一个真命题的，我们就需要这样的证明。

师：那你能不能举出来。那如果我们似乎找不到这样的反例，那我们就看一看通过推理它会不会是一个真命题。那你觉得叫文字叙述的命题，如果我们要对它进行证明，首先需要做什么？

生：画图

师：那接下来呢？了解已知和未知、求证。哪位同学说一下你的想法？

生：已知AB=CD、AD=BC

师：求证四边形ABCD是平行四边形。那么我们在写的时候，这里面最好再加上两个字：已知如图

师：好，接下来思考一下我们怎样对它进行证明呢？

生：两组对边分别平行

师：那我们怎么解决平行的问题？找角，那么图中有什么角？

生：同旁内角

师：不好解决要怎么做？

生：构造辅助线，连接AC

师：为什么要连接AC，请同学们试试看

生：因为连接AC，然后在三角形ABC和三角形ADC中，AB=DC、BC=AD、AC=AC，所以两个三角形全等，全等理由是SSS（师板书）

师：所以∠1=∠2、∠3=∠4，所以有AB||DC、AD||BC，四边形ABCD为平行四边形。那这个理由是什么？平行四边形的定义（师板书）

师：那刚才是把平行四边形通过添加辅助线，连接对角线AC，把这个四边形其实分割成了我们所熟悉的两个三角形的问题来解决的啊。那么刚才通过我们的对比，我们都知道这个命题是一个真命题。那么我们在我们学习的过程当中啊，我们经常是要用到这个定理的一个几何语言来表达，哪位同学能说一下?

生：因为AB=DC，AD=BC所以四边形ABCD是平行四边形。

师：那么这是我们在数学过程当中啊，经常会用到的几何语音。那么我们回过头来看一看黑板上这两种判定的方法啊。这种是从定义，这个是我们刚刚得到的判断定理。那我们来分析一下我们定义条件是什么？

生：两组对边分别平行

师：那判定定理呢？两组对边分别相等。那么我们可以发现它的已知条件都是从四边形的边，要么位置关系，要么是数量的关系角度出来做的。那老师现在把这个四边形的边的条件拆分出来了，有这么四种情况。那我们来看一看，对于定义来说，它应该是这四个条件当中的哪两个条件的。二和四，一和三。那我们在这四个条件当中选取两个组合，还有其他的情况吗？还有没有其他的情况，请写下来。

师：还有哪几种情况啊？我们来输序号就可以

生：1和2、2和4、3和4、1和4。

师：那么除了这四种情况之外，还有其他情况吗？没有了，那接下来我们看一看上面的这四种情况的两个两个组合，哪一些能说明这个四边形是平行四边形。如果可以的话，你要思考一下具体的过程是什么？如果不可以的话，要举反例。好，那你试试看，现在可以和周围的同学讨论一下。

师：我们一起来看一下啊，上面的四种组合的情况，大家觉得有没有是推不出来？

生：二和四，我已经找到了反例。（学生上黑板画反例）

师：我们来看一下它这个图形符不符合我们这个组合情况，主要是这个结论。很显然它不是平行四边形，这说明它是一个假命题。为什么画了一个图，因为差不多一样。那换句话再说，我们看一下二和四这两个条件具有什么样的特点，你用文字语言能概括一下吗？二和四这种组合情况，为什么图是同一个呀？你可不可以用文字语言把它描绘一下。他这个条件应该是一组对边平行，另外一组对边相等。那我们就可以把二和四归结到这一个图形当中来了。就是一组对边是平行的，另外一组对边是相等的，这样的四边形，它不一定是平行四边形。那现在我们看剩下的一和三，我们可以归纳一下吧。这个一和三归纳一下有什么特点？一组对边平行且相等，那这两个我们可以把它算一种情况啊。那你有思考的结果了吗？有思考了啊，跟老师说说看来。

生：连接AC，根据AD||BC，我们就可以立刻得到三角形ABC和ADC全等，AD=BC，可以相等证明。

师：那我用定义来解决可以吗？

师：我们可以通过刚才得到的全等来解决∠3等∠4，进而得到AB和CD是平行的。那么通过我们刚才做的证明，我们可以得到一组对边平行且相等，它也是一个真命题，那这是我们今天要学到的第二个判定定理。

师：找同学说一下，这个的几何语言应该怎么来写。

生共同回答（师板书）

师：大家将课本翻到到93页和94页，把两个判定定理找到。（师完善板书）

师：那到目前为止，我们要想解决一个四边形是平行四边形，有几种方法了？三种，一个是定义，剩下两个是我们刚刚得到的判定定理1和2。我们来看一下在我们的题目当中如何来运用这个学到的判断定理来解决问题，一起来看一下。

出示例题

师：按照我们平时的老规矩啊，首先来找一下题目当中的条件，那平行四边形ABCD我们可以得到一个信息，对吗？有角还有边，但是他们这些信息哪些是我们解决这个问题当中帮助用到的？

生：EF=AD

师：那我们解决平行线。那这里面是可以得到的？那接下来我们就需要解决EF=AD。

就说我们今天这节课学了之后啊，你说解决线段平行，你还会想到什么办法？

生讲述证明过程（师板书）

师：那么我们来看一下啊，现在我们来解决两条线段平行。原来可能想到的方法是什么去找内错角、同位角或者是同旁内角。那我们今天这节课学好之后，如果有让你去解决平行。我们还可以找到什么办法？证明这个四边形是一个平行四边。

师：那像这个E点和F点的是中点，中点我们大家比较喜欢，是比较特殊的一个位置。那我现在想把它位置换一换，它是这个样子的。

师：怎么解决？与刚才打的一样，只需要调换一下位置。刚才是中点，现在不是了就需要把这里换一下。

师引领着学生修改刚刚的证明，得到结果

出示练习

师：这个分析好之后，需要你写出解题过程当中。和上次我们原来一样啊，首先分析一下条件，看看都有些什么。

师：提示一下，这个题让我们解决线段相等。那你看线段相等，你想到什么办法，按照你的想到的那个办法去找一下对应的那个条件。

师展示生们写的证明过程，请生来讲解

师：这说明我们解决一个问题，可以选择一个不同的方式。那你对比一下这两个题目的解题过程，你们相对来说喜欢哪一种，第一种大家写起来稍微简单点。

师：那今天我们这节课学习的内容是平行四边形的判定。之前复习了一下平行四边形的性质，接下来就具体学习平行四边形的判定定理。目前三种方法来判定。那么下节课我们来看一看从角的角度或者说从对角线的角度，是否也能得到这个四边形是平行四边形。那这节课我们所在的上课过程当中啊，我们涉及到了三种思想方法。第一种就是我们刚才所说的四边形经常会转换成我们熟悉的三角形，还有刚才所说的一个分类的一个讨论。最后还有我们刚才所说的由特殊点到一般点的问题。